我们都学习过反证法，当一个问题从正面证明非常困难时，我们通常采用反证法的思想来证明结论。

反证法的证明逻辑如下：

①假设结论不成立；

②由假设出发，推导出与已知条件或公认结论相矛盾；

③说明假设错误；

④证明题干结论成立。

我们首先来看一个反证法的经典例题，证明√2是无理数。为了证明这个问题，首先我们需要了解在实数范围内，除了有理数就是无理数。也就是说，有理数集Q和无理数集的交集是空集∅，并集是实数集R。

有理数是指有限小数或无限循环小数，这里将整数视为有限小数。所有的有理数都可以写成既约整分数的形式，这里将整数视为分母为1的分数。所谓既约整分数就是指分子分母都是整数并且约到最简的分数。

若a∈Q，则a=m/n，这里m、n∈Z，且(m，n)=1，n≠0。这里符号(m，n)，代表正整数m和n的最大公约数，若(m，n)=1，则称m和n互质。

无理数是指无限不循环小数，任何无理数都不能写成两个整数相除的分数形式。

那么我们应该如何来证明√2是无理数呢？如果从正面思考这个问题，就需要证明√2是无限不循环小数。很显然，无论你把√2精确计算到多少位，都不能说明其小数部分是无限的，更不能说明是不循环的。也就是说，根本就无法做到从正面来说明√2是无理数。所以我们必须转换思维，在实数范围内，除了无理数就是有理数，如果我们能够说明√2不是有理数，那就一定能够说明√2是无理数。这就是反证法的思想。

求证：√2是无理数

证明：假设√2是有理数

显然√2＞0，则√2=m/n

m、n∈N*，且(m，n)=1

m=(√2)n，m^2=[(√2)n]^2=2(n^2)

m^2为偶数，则m为偶数

设m=2p

2(n^2)=m^2=(2p)^2=4(p^2)

n^2=2(p^2)

n^2为偶数，则n为偶数

m和n均为偶数，与(m，n)=1矛盾

说明“假设√2是有理数”错误

所以√2是无理数，证毕！

从逻辑上来看，反证法是非常严密的。然而，有些数学家却认为反证法有悖于正向思维，是一种错误的理论。最著名的就是20世纪初，荷兰数学家布劳威尔。布劳威尔是关于数学基础的直觉主义学派的代表人物，他主张所有的数学对象都依赖于人的直觉。换句话说，一个数学理论叙述的是一个什么样的数学问题，必须能在人的大脑中想象或构造出来。如果某个数学对象你无法想象，那这个理论就是非法的。布劳威尔认为，反证法就是非法的。

反证法的成立依赖于逻辑学中的排中律，所谓排中律就是指一个命题和他的否命题之间，必然有一个是真的，而另一个是假的，排中律就是排除了既不真也不假的中间状态。但布劳威尔认为，排中律本身就是不成立的。

例如定义数字D，如果组合12345在π的小数部分中出现有限次，则D=0；如果组合12345在π的小数部分中出现无限次，则D=1。因为π无限不循环，所以你永远无法得知组合12345在π的小数部分中是出现有限次还是无限次，所以这样的D是不存在的。这就好似薛定谔的猫一样，你既不能说D=0，也不能说D=1。进而说明排中律是不成立的，所以反证法也是不成立的。

显然，布劳威尔举的这个例子是一个特例，并不具备代表性。只要我们采用反证法的命题满足排中律，就可以肯定反证法的逻辑推理。实际上，布劳威尔的代表作——布劳威尔不动点定理：紧致凸集上自身到自身的连续映射，必存在不动点。这个定理的证明正是利用反证法来证明的，这是不是自己打自己嘴巴。

接下来我们再来看一个反证法的经典例子。

求证：存在无理数的无理数次方是有理数。

证明：考虑(√2)^(√2)是一个无理数的无理数次方

①假设(√2)^(√2)是有理数

则问题得证；

②假设(√2)^(√2)是无理数

则[(√2)^(√2)]^(√2)是一个无理数的无理数次方

[(√2)^(√2)]^(√2)

=(√2)^[(√2)×(√2)]

=(√2)^2=2，是一个有理数

问题也得证。

所以必存在无理数的无理数次方是有理数，证毕！

在以上证明中，尽管我们并不知道(√2)^(√2)到底是有理数还是无理数，但是无论(√2)^(√2)是有理数还是无理数，都可以得出必存在无理数的无理数次方是有理数的结论，这种证明思路真是太巧妙了。那么你觉得这种证明思路是歪理邪说吗？

我们再来看一个证明无穷多的例子。

求证：质数有无穷多个。

证明：假设质数个数是有限的，则必存在最大质数p

令q=2×3×5×…×p+1

显然q＞p，则q不是质数

q÷2=……1

q÷3=……1

q÷5=……1

q÷p=……1

q不能被任何质数整除，则q是质数，与q不是质数矛盾

说明“假设质数个数是有限的”错误

所以质数有无穷多个，证毕！

你就说这个证明思路丝滑不丝滑吧。

最后，我们来看一个困扰人们2000多年才得以解决的问题，圆周率π到底是不是无理数？

引理：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数。

求证：π是无理数

证明：假设π是有理数，显然π/4也是有理数，且π/4≠0

根据引理：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数

所以tan(π/4)是无理数

tan(π/4)=tan(45°)=1是有理数

与tan(π/4)是无理数矛盾

说明“假设π是有理数”错误

所以π是无理数，证毕！

一个困扰人们2000多年的问题，就这么被反证法轻易征服了。整个证明过程简洁清晰、逻辑缜密，堪称反证法应用的经典例证，真是让人赏心悦目。